本项目主要研究高阶自守表示的算术性质，取得了一项突破性成果: 证明了著名的Birch-Swinnerton-Dyer猜想的高维推广，即Beilinson-Bloch-Kato猜想的若干重要情形，被评价为“该领域里程碑式的成果”。 

This project studies the arithmetic properties of automorphic forms of higher ranks. It is a breakthrough achievement, proving some important cases of the Beilinson-Bloch-Kato conjecture, a higher dimensional generalization of the famous Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. This work has been regarded as “a landmark in its field”.

刘一峰与中国科学院田一超、北京大学肖梁、麻省理工张伟、加州理工朱歆文合作，在酉群整体Gan-Gross-Prasad猜想的框架下，对共轭自对偶自守表示Rankin-Selberg乘积的motive研究了Beilinson-Bloch-Kato猜想。他们证明了Rankin-Selberg L函数中心临界值的非零性蕴含了对应伽罗瓦表示的Bloch-Kato Selmer群为零；他们还证明了Bloch-Kato Selmer群中某类对角闭链同调类的非零性蕴含Bloch-Kato Selmer群秩为1，而该同调类的非零性则猜想等价于Rankin-Selberg L函数中心临界一阶导数的非零性。作为直接的应用，他们的主要结果揭示了模性椭圆曲线对称积Rankin-Selberg L函数的中心临界值与其对应的Bloch Kato Selmer群的深刻联系。该项突破性结果于2022年1月以长达269页的论文形式发表于国际顶级数学期刊《Inventiones Mathematicae》，为该杂志历史第二长论文。该项成果被权威同行专家评价为算术几何领域近年来最重大的突破之一。

负责人：刘一峰

一支笔，一叠白纸。一台电脑，用来查阅文献、撰写论文和收发邮件。一块黑板，记录由算式与图形构成的思维对话。37岁的数学家刘一峰说，这些，以及大块的安静时间，就是他研究纯粹数学所需的全部。
 

近年来，刘一峰与合作者解决了数论领域内一系列著名问题，并获得2017年度斯隆研究奖，2018年度SASTRA拉马努金奖，在国际上备受瞩目。2021年6月，他在辞去耶鲁大学正教授职位后，归国全职加盟浙大。这段时间里，他已经发表了多篇高水准论文，其中有3篇发表在基础数学顶级期刊上。
 

“穿行于数学研究的迷雾森林，需要强大的心理素质、足够的耐心以及开放的心态，要经得起挫折，耐得住寂寞。”刘一峰说，灵光一现和困难重重往往交替出现，时常陷入绝望，又继续深入挖掘、反复推敲，最终看到希望。
 

数学不发展，其他学科或遭遇瓶颈
 

我们在浙大见到刘一峰时，他一身休闲装，显得轻松随意。他是浙大数学高等研究院继励建书、阮勇斌、孙斌勇等3位中科院院士之后第4位永久成员，也是最年轻的一位。这些数学家有着相似的气质，前辈院士穿着短袖T恤、挎着单肩包，乐呵呵地同刘一峰打招呼。
 

在这种轻松氛围里开启的，恰是一场异常艰辛的思维探索旅程。刘一峰的主要研究方向是代数数论、代数几何和自守形式，属于纯粹数学，涉及的许多问题指向数学世界本身的规律，意味着更高维度的抽象和概括。
 

然而这种探索又绝对是必要的。“数学最大的魅力在于宏大和精妙的完美结合，大到可以描述宇宙，联系看似完全无关的事物和规律。”刘一峰说，如果数学不往前发展，很多其他学科早晚会遇到瓶颈。看似“无用”的数学，往往会对人类认识广阔宇宙、改善日常生活等起到巨大的作用。
 

黎曼几何与广义相对论的联系是刘一峰经常举的一个例子。19世纪末，当德国数学家黎曼提出对空间的一系列崭新数学解释时，这种超前的理论也为时人所不解。进入20世纪，正是黎曼奠基的现代几何，为建立广义相对论提供了数学工具，而广义相对论所释放的威力已经改变了人类生活的诸多方面。
 

刘一峰长期钻研的许多问题都与Beilinson（俄罗斯数学家贝林森）、Bloch（法国数学家布洛赫）和Kato（日本数学家加藤和也）提出的一系列猜想有关——这些猜想是著名的千禧年七大数学问题之一的BSD猜想在高维算术几何对象上的推广。就在这两年，刘一峰与合作者在这些问题上取得了突破性的进展。其中一项成果发表在数学领域顶尖的期刊之一《Inventiones mathematicae》（数学新进展）上，论文长达269页，这是十分罕见的。他目前正在该问题上进一步深入。
 

以基本公理为地基，玩一场搭积木的游戏
 

刘一峰把自己投身的纯粹数学比做一个搭积木游戏。地基是几条基本的公理，数学家在这些公理之上搭城堡，堆砌出庞大的知识体系。
 

找到一个值得研究的好问题，是“游戏”最初的阶段，也是最难的阶段。“这个问题可以是之前工作的延续，也可以完全开拓一个新方向，但必须是一个不平凡的、学界感兴趣的问题。”数学的广袤让刘一峰可以从无数个起点出发，通常的情况是尝试10个问题，最后发现只有1个可以做下去，但这已让人足够兴奋。
 

这个游戏是如此美妙，以至于刘一峰投入时就像行星进入恒星的引力轨道。“这种吸引力让我在中学时期就决定了要投身数学世界。”他高中就读于上海名校华东师大二附中，当时已经展现出极高的数学天赋。而在北大求学期间，他就确定自己将来要从事与代数相关的研究——如果把数学比作森林的话，那么代数思想就好比森林里的生态系统，它将一切完美归纳和契合。
 

在刘一峰最终破解一个困扰学界多年的难题时，这种美妙的感觉不出意外地浮现。他清晰地记得那个夜晚，灵感迸发，随后几天埋头验证。他盯着稿纸上的算式，越看越觉得它们契合了之前的种种设想，一切都按部就班地找到了自己的位置，显得顺理成章……“这一刻，世界是如此美妙。”
 

对大部分数学家来说，经数学刻画的世界因简洁而美妙。刘一峰很大程度上也是这么认为的，真和美在本质上应该一致。“如果你发现一个美妙的想法并不能成功解释世界，很可能是我们眼界有限，世界的真理比我们目前的想法还要更美妙。”刘一峰说。
 

（原载于浙江新闻“科技追梦人”栏目）